Count 朱: Peak Balls from a Bin

罐子裡有100顆球，紅色的球佔40%，綠色的球佔60%。從罐子裡取出10顆球，希望出現最多1顆紅色球的機率是多少？

這個問題，可以用下圖表示：

此問題，有兩種解法：

Sampling without Replace

在上一篇，A Question of Hoeffding's Inequality，計算機率的方式，是用Sampling without Replace。本篇，用Python程式觀察，當母體(Population)數量變大的情況下，所要球的機率是否有極限值？

Bin3.py (from Gist)

	#
	# Peak balls from a bin (Sampling wihtout Replacement)
	#

	import math
	import matplotlib.pyplot as plt
	import numpy as np

	#
	# n Choice r
	#

	def combination (n, r):
	f = math.factorial
	return f(n) // f(r) // f(n-r)

	#
	# Probability of the question.
	#

	def prob (n, mu):
	n1 = int (n * mu)
	n2 = n - n1
	p1 = combination (n1, 1) * combination (n2, 9) / combination (n, 10)
	p2 = combination (n1, 0) * combination (n2, 10) / combination (n, 10)
	p = p1 + p2
	return p


	if __name__ == '__main__':
	print ("prob (100, 0.4) = ", prob (100, 0.4))
	print ("prob (1000, 0.4) = ", prob (1000, 0.4))
	print ("prob (10000, 0.4) = ", prob (10000, 0.4))

	largestY = prob (100000, 0.4)
	print ("prob (100000, 0.4) = ", largestY)

	x = np.arange (100, 3000, 10)
	y = [prob (x, 0.4) for x in x]

	plt.plot (x, y, label = 'y = prob (x, 0.4)')
	plt.axhline (y = largestY, color='r', linestyle='-', label='y = %f' % largestY)
	plt.legend ()
	plt.show ()

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執行結果：

prob (100, 0.4) = 0.038515760543954836

prob (1000, 0.4) = 0.045571401459545594

prob (10000, 0.4) = 0.04627879605450445

prob (100000, 0.4) = 0.04634954100183593

上圖看來，當Population夠大的情況下，似乎 prob = 0.0463...是極限了。我們先觀察有這個現象，如何用數學證明，待我研究完後，再給大家參考。

Sampling with Replacements

如從罐子每取出一顆，馬上放回，那麼這個機率，就很好計算，解釋如下：

因為取球再放回去，每次都是獨立事件，所以計算10次都是綠色球的機率，就是將每次取球為綠色的機率0.6自乘10次：

P [# = 0] = 0.6^10 = 0.006

10次裡面，只有1次為紅色球的機率，就是先球9次為為綠色的機率 (0.6^9)，再乘上1次為紅色的機率 (0.4)。因為不確定紅色的球會出現在第幾次，但有10個可能出現的位置，所以再乘上10：

P [# = 1] = 0.6^9 * 0.4 * 10

最後將兩個機率加起來，就得到最後的值

P [v <= 0.1] = P [# = 0] + P [# = 1] = 0.046…

用Sampling with Replacements方法的好處是：

-Count

Count 朱