Why PLA May Work - Step 2

上一篇，Why PLA May Work - Step 1，解釋了 min 的意思。本篇，解釋下面式子左邊的y-w-x涵意。

拿上一篇的圖例解釋：

t的意思，是代某一輪。如t=1，代表第1輪，t=2代表第2輪。

x_n(t)，代表第t輪所偵測到錯誤的點，而y_n(t)代表該點是+1或-1。

下圖是假想第一輪的情況

在第一輪，我們肉眼看到有兩個錯誤的點：x₁與x₄。因為PLA每輪只取一個錯誤的點，所以我們只取x₄來處理。其值y₄ = -1。把這兩個值標記為x₄₍₁₎和y₄₍₁₎，括號裡的1代表第1輪。為何說x₄是錯誤的點？因為：

w₄x₄₍₁₎ = +1 

y₄₍₁₎ = -1

sign (w₄x₄₍₁₎) != y₄₍₁₎

x₄和x₁兩個點，那一個距離最後的那條藍色分割線最近？畫圖：

將x₄和x₁分別投影到wf向量上，然後比較投影向量的長度，長度愈短，表示離線愈近。我們用「目視」發覺x₁離分割線最近。如何用數學式子表達？可以用向量內積。

向量內積的結果是有方向性的，所以各自乘上自己的y值，這樣一來，就確保左右兩邊的值都是正的，就相當於投影向量的長度了。

就像我們程序員，在寫程式時，有一個習慣。明明程式寫好了，跑起來沒問題，但還是想修改，為的是能適用在更多情況，我稱之為抽象化。所以，對上面這個式子抽象化，讓它符合所有x，就成為：

這個式子，除了表達適用於所有的點之外，還表達了兩件事情：

• 所有的點，離分割線的距離都是大於零
• 若n=1，就是x₁的那一點，套用式子，就是等號。意思就是x₁離分割線最近。

我們記得，PLA每輪只取一個錯誤的點處理，所以我們可以把「輪」的概念套用在上面這個式子。這樣一來，這道式子就更能表達出程式在運行PLA時的狀況。

這道式子，講白話一點，就是：

不管是第幾輪，每一輪所挑選的錯誤的那個x，與最終切割線的距離，和離切割線最近的那個x的距離，稱為最小距離相比，有兩種情況：

• 距離 > 最小距離
• 距離 = 最小距離
• 兩個點是同一個點
• 兩個點不同，但都是最小距離

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